Un chercheur d’Anthropic utilise l’IA pour infirmer une conjecture mathématique vieille de 87 ans

Dans la nuit du 19 juillet, le mathématicien Levent Alpöge a publié un court message sur X qui pourrait bien représenter le problème mathématique le plus difficile jamais résolu avec l'aide de l'intelligence artificielle. En utilisant Claude Fable 5 d'Anthropic, Alpöge a produit un contre-exemple réfutant la conjecture jacobienne, l'un des problèmes non résolus les plus anciens en géométrie algébrique.news.ycombinator+1

La conjecture, énoncée pour la première fois pour deux variables en 1884 puis généralisée en 1939, postule que si une fonction polynomiale d'un espace à n dimensions vers lui-même a un déterminant jacobien constant non nul, alors la fonction doit posséder une inverse polynomiale. Il s'agit de l'un des 18 problèmes pour le XXIe siècle identifiés par le mathématicien Steve Smale.wikipedia

Un contre-exemple concis

Ce qu'Alpöge a publié n'est pas une preuve de la conjecture, mais sa négation : une application polynomiale dans l'espace complexe tridimensionnel avec un déterminant jacobien constant de moins deux qui, pourtant, n'est pas inversible. Trois points d'entrée distincts — (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) et (-1, 3/2, 13/2) — mènent tous à la même sortie, (-1/4, 0, 0), prouvant que la fonction n'est pas injective et ne peut donc pas avoir d'inverse.newscientist+1

Le contre-exemple ne fait que 216 caractères, selon New Scientist. Alpöge a inclus des vérifications Wolfram Alpha dans son fil de discussion original.explainx+1

Implications et vérification

Selon le Secret Blogging Seminar, un blog de mathématiques tenu par des professionnels, le contre-exemple a immédiatement attiré l'attention de la communauté, le mathématicien Andy Jiang ayant fourni une construction géométrique presque élégante de l'application.sbseminar.wordpress

Le résultat infirme la conjecture pour les dimensions supérieures à deux. Pour le cas particulier de deux variables, la conjecture reste un problème ouvert. Comme le rapporte New Scientist, les experts ont qualifié ce résultat de problème mathématique le plus difficile jamais résolu par une IA.newscientist+1

Statut et scepticisme

À l'heure où nous écrivons ces lignes, le contre-exemple attend une évaluation formelle par les pairs et une publication sur arXiv. Cependant, plusieurs mathématiciens ont noté qu'un contre-exemple de cette nature peut être vérifié par le calcul : vérifier que le déterminant jacobien est constant et que trois points convergent ne nécessite que de l'arithmétique polynomiale. Alpöge, titulaire d'un doctorat de Princeton et ancien membre de la Society of Fellows de Harvard, a rejoint Anthropic en 2024.linkedin+2