Anthropic-Forscher nutzt KI zur Widerlegung einer 87 Jahre alten mathematischen Vermutung

In der Nacht zum 19. Juli veröffentlichte der Mathematiker Levent Alpöge eine kurze Nachricht auf X, die das bisher schwierigste mathematische Problem darstellen könnte, das mit Hilfe künstlicher Intelligenz gelöst wurde. Unter Verwendung von Anthropics Claude Fable 5 erstellte Alpöge ein Gegenbeispiel, das die Jacobian-Vermutung widerlegt, eines der am längsten offenen Probleme der algebraischen Geometrie.news.ycombinator+1

Die Vermutung, die erstmals 1884 für zwei Variablen aufgestellt und 1939 verallgemeinert wurde, postuliert, dass eine Polynomfunktion von einem n-dimensionalen Raum in sich selbst eine Polynom-Inverse haben muss, wenn ihre Jacobian-Determinante eine von Null verschiedene Konstante ist. Sie gehört zu den 18 Problemen des Mathematikers Steve Smale für das 21. Jahrhundert.wikipedia

Ein prägnantes Gegenbeispiel

Was Alpöge veröffentlichte, war kein Beweis der Vermutung, sondern deren Negation: eine Polynomabbildung im dreidimensionalen komplexen Raum mit einer konstanten Jacobian-Determinante von minus zwei, die dennoch nicht invertierbar ist. Drei verschiedene Eingabepunkte — (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) und (-1, 3/2, 13/2) — führen alle auf dieselbe Ausgabe, (-1/4, 0, 0), was beweist, dass die Funktion nicht injektiv ist und daher keine Inverse haben kann.newscientist+1

Das Gegenbeispiel ist laut New Scientist nur 216 Zeichen lang. Alpöge fügte seinem ursprünglichen Thread Verifizierungsprüfungen von Wolfram Alpha bei.explainx+1

Implikationen und Verifizierung

Laut dem Secret Blogging Seminar, einem von professionellen Mathematikern betriebenen Blog, hat das Gegenbeispiel sofortige Aufmerksamkeit in der Fachwelt erregt, wobei der Mathematiker Andy Jiang eine nahezu elegante geometrische Konstruktion der Abbildung lieferte.sbseminar.wordpress

Das Ergebnis widerlegt die Vermutung für Dimensionen größer als zwei. Für den Spezialfall von zwei Variablen bleibt die Vermutung ein offenes Problem. Wie New Scientist berichtet, haben Experten dies als das bisher schwierigste mathematische Problem bezeichnet, das von einer KI gelöst wurde.newscientist+1

Status und Skepsis

Zum Zeitpunkt der Veröffentlichung wartet das Gegenbeispiel auf eine formelle Begutachtung und die Veröffentlichung auf arXiv. Mehrere Mathematiker haben jedoch angemerkt, dass ein Gegenbeispiel dieser Art rechnerisch verifiziert werden kann — die Überprüfung, ob die Jacobian-Determinante konstant ist und ob drei Punkte kollidieren, erfordert lediglich Polynomarithmetik. Alpöge, der einen Doktortitel aus Princeton besitzt und zuvor Junior Fellow an der Harvard Society of Fellows war, kam 2024 zu Anthropic.linkedin+2