Ερευνητής της Anthropic χρησιμοποιεί τεχνητή νοημοσύνη για να καταρρίψει μαθηματική εικασία 87 ετών

Το βράδυ της 19ης Ιουλίου, ο μαθηματικός Levent Alpöge δημοσίευσε ένα σύντομο μήνυμα στο X που ενδέχεται να αποτελεί το δυσκολότερο μαθηματικό πρόβλημα που έχει επιλυθεί ποτέ με τη βοήθεια της τεχνητής νοημοσύνης. Χρησιμοποιώντας το μοντέλο Claude Fable 5 της Anthropic, ο Alpöge παρήγαγε ένα αντιπαράδειγμα που καταρρίπτει την εικασία του Ιακωβιανού, ένα από τα μακροβιότερα άλυτα προβλήματα στην αλγεβρική γεωμετρία.news.ycombinator+1

Η εικασία, η οποία διατυπώθηκε για πρώτη φορά για δύο μεταβλητές το 1884 και γενικεύτηκε το 1939, υποστηρίζει ότι αν μια πολυωνυμική συνάρτηση από έναν n-διάστατο χώρο στον εαυτό του έχει μη μηδενική σταθερή Ιακωβιανή ορίζουσα, τότε η συνάρτηση πρέπει να διαθέτει πολυωνυμικό αντίστροφο. Αποτελεί ένα από τα 18 προβλήματα του μαθηματικού Steve Smale για τον 21ο αιώνα.wikipedia

Ένα συνοπτικό αντιπαράδειγμα

Αυτό που δημοσίευσε ο Alpöge δεν ήταν μια απόδειξη της εικασίας, αλλά η άρνησή της: μια πολυωνυμική απεικόνιση στον τρισδιάστατο μιγαδικό χώρο με σταθερή Ιακωβιανή ορίζουσα ίση με μείον δύο, η οποία ωστόσο δεν είναι αντιστρέψιμη. Τρία διαφορετικά σημεία εισόδου, τα (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) και (-1, 3/2, 13/2), αντιστοιχούν όλα στην ίδια έξοδο, (-1/4, 0, 0), αποδεικνύοντας ότι η συνάρτηση δεν είναι «ένα προς ένα» και συνεπώς δεν μπορεί να έχει αντίστροφο.newscientist+1

Το αντιπαράδειγμα έχει μήκος μόλις 216 χαρακτήρων, σύμφωνα με το New Scientist. Ο Alpöge συμπεριέλαβε ελέγχους επαλήθευσης από το Wolfram Alpha στο αρχικό του νήμα.explainx+1

Επιπτώσεις και επαλήθευση

Σύμφωνα με το Secret Blogging Seminar, ένα μαθηματικό ιστολόγιο που διαχειρίζονται επαγγελματίες μαθηματικοί, το αντιπαράδειγμα έχει προσελκύσει άμεσο ενδιαφέρον από την κοινότητα, με τον μαθηματικό Andy Jiang να παρέχει μια σχεδόν κομψή γεωμετρική κατασκευή της απεικόνισης.sbseminar.wordpress

Το αποτέλεσμα καταρρίπτει την εικασία για διαστάσεις μεγαλύτερες των δύο. Για την ειδική περίπτωση των δύο μεταβλητών, η εικασία παραμένει άλυτο πρόβλημα. Όπως αναφέρει το New Scientist, οι ειδικοί χαρακτήρισαν αυτό το επίτευγμα ως το δυσκολότερο μαθηματικό πρόβλημα που έχει λυθεί μέχρι σήμερα από τεχνητή νοημοσύνη.newscientist+1

Κατάσταση και σκεπτικισμός

Μέχρι τη στιγμή της δημοσίευσης, το αντιπαράδειγμα αναμένει επίσημη αξιολόγηση από ομότιμους και ανάρτηση στο arXiv. Ωστόσο, αρκετοί μαθηματικοί έχουν επισημάνει ότι ένα αντιπαράδειγμα αυτής της φύσης μπορεί να επαληθευτεί υπολογιστικά, καθώς ο έλεγχος ότι η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι σταθερή και ότι τρία σημεία συμπίπτουν απαιτεί μόνο πολυωνυμική αριθμητική. Ο Alpöge, ο οποίος κατέχει διδακτορικό από το Πρίνστον και διετέλεσε υπότροφος της Εταιρείας Υποτρόφων του Χάρβαρντ, εντάχθηκε στην Anthropic το 2024.linkedin+2